Question

7．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图1，∠BAB′=θ，$\frac{AB′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AC′}{AC}$=n，我们将这种变换记为旋转伸缩变换．
（1）如图1，对△ABC作变换得△AB′C′，若$\frac{AB′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AC′}{AC}$=$\frac{3}{2}$，∠BAB′=60°，则△AB′C′与△ABC的面积比=$\frac{9}{4}$；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60度；
（2）如图2，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC作变换得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形AB B′C′为矩形，求θ和n的值；
（3）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形AB B′C′为平行四边形，求θ和n的值．

Answer 1

分析 （1）由旋转与相似的性质，即可得S_△AB′C′：S_△ABC=$\frac{9}{4}$，然后由△ABN与△B′MN中，∠B=∠B′，∠ANB=∠B′NM，可得∠BMB′=∠BAB′，即可求得直线BC与直线B′C′所夹的锐角的度数．
（2）由四边形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度数，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得n的值．
（3）由四边形ABB′C′是平行四边形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根据相似三角形的对应边成比例，易得AB²=CB•BB′=CB（BC+CB′），继而求得答案．

解答 解：（1）如图①，

根据题意得：△ABC∽△AB′C′，
∴S_△AB′C′：S_△ABC=（$\frac{AB′}{AB}$）²=（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，∠B=∠B′，
∵∠ANB=∠B′NM，
∴∠BMB′=∠BAB′=60°
故答案为：$\frac{9}{4}$，60．
（2）∵四边形ABB′C′是矩形，
∴∠BAC′=90°，
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60°，
在Rt△ABB′中，∠ABB′=90°，∠BAB′=60°，
∴n=$\frac{AB′}{AB}$=2．
（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，
∴AC′∥BB′，
又∵∠BAC=36°，
∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°，
∴∠C′AB′=∠ABB′=∠BAC=36°，而∠B=∠B，
∴△ABC∽△B′BA，
∴AB²=CB•B′B=CB•（BC+CB′），而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，
∴AB²=1•（1+AB），
∴AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵AB＞0，
∴n=$\frac{B′C′}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．