Question

9．已知关于x的方程x²+2（a-1）x+a²-9a-4=0的两根为x₁、x₂，且满足x₁x₂-3x₁-3x₂=0，求（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$的值．

Answer 1

分析 先由韦达定理得到x₁+x₂=-2（a-1），x₁x₂=a²-9a-4代入x₁x₂-3x₁-3x₂=0中求出a，再化简（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$=$\frac{a}{a-2}$即可．

解答 解：根据韦达定理，得x₁+x₂=-2（a-1），x₁x₂=a²-9a-4，
∵x₁x₂-3x₁-3x₂x₁x₂-3（x₁+x₂）=0，
∴a²-9a-4-3×[-2（a-1）]=0，
∴a=5或a=-2（舍），
∴（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$
=（1+$\frac{4}{（a+2）（a-2）}$）×$\frac{a+2}{a}$
=$\frac{a+2}{a}$+$\frac{4}{a（a-2）}$
=$\frac{（a+2）（a-2）+4}{a（a-2）}$
=$\frac{{a}^{2}}{a（a-2）}$
=$\frac{a}{a-2}$
=$\frac{5}{5-2}$
=$\frac{5}{3}$．

点评 此题是根与系数的关系，主要考查了韦达定理，化简，解本题的关键是求出a的值．