Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-3与x轴相交于点B、y轴相交于点C，过点B、C的抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于另一点A，顶点为D点．
（1）求tan∠OCA的值；
（2）若点P为抛物线上x轴上方一点，且∠DAP=∠ACB，求点P的坐标；
（3）若点Q为抛物线y=-x²+bx+c对称轴上一动点，试探究当点Q为何位置时∠OQC最大，请求出点Q的坐标及sin∠OQC的值．

Answer 1

分析 （1）可先求出点B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出点A的坐标，就可解决问题；
（2）过点P作PE⊥x轴于E，如图1，易证∠DAH=∠OCB=45°，由∠DAP=∠ACB可得∠PAB=∠OCA，然后利用（1）中的结论运用三角函数就可解决问题；
（3）运用圆周角定理和三角形的外角的性质可得：当点Q在线段OC的垂直平分线上时，∠OQC最大，如图2①，过点O作OG⊥CQ于G，如图2②，运用勾股定理可求出OQ、CQ，然后运用面积法求出OG，问题得以解决．

解答 解：（1）∵点B、C分别是直线y=x-3与x轴、y轴的交点，
∴点B（3，0），点C（0，-3）．
把点B（3，0），点C（0，-3）代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3．
令y=0，得-x²+4x-3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点A（1，0），OA=1，
∴tan∠OCA=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$；

（2）过点P作PE⊥x轴于E，如图1，

设点P的坐标为（x，-x²+4x-3），
则PE=-x²+4x-3，AE=x-1．
令y=0，得-x²+4x-3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴B（3，0），
∴OB=OC=3．
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°．
由y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1得，
顶点D（2，1），对称轴为x=2，
∴AH=DH=1．
∵∠DHA=90°，
∴∠DAH=45°，
∴∠DAH=∠OCB=45°．
∵∠DAP=∠ACB，
∴∠PAB=∠OCA，
∴tan∠PAB=tan∠OCA=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{PE}{AE}$=$\frac{-{x}^{2}+4x-3}{x-1}$=-$\frac{（x-1）（x-3）}{x-1}$=-（x-3）=$\frac{1}{3}$，
解得：x=$\frac{8}{3}$．
此时-x²+4x-3=-（$\frac{8}{3}$）²+4×$\frac{8}{3}$-3=$\frac{5}{9}$，
则点P（$\frac{8}{3}$，$\frac{5}{9}$）；

（3）当点Q在线段OC的垂直平分线上时，∠OQC最大，如图2①，

理由：在对称轴上任取一点Q′，连接OQ′，CQ′，
设OQ′与△OQC的外接圆⊙O′交于点S，连接CS，
∵∠OQC=∠OSC，∠OSC＞∠OQ′C，
∴∠OQC＞∠OQ′C，
∴当点Q在线段OC的垂直平分线上时，∠OQC最大．
过点O作OG⊥CQ于G，如图2②，

∵OT=TC=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，QT=2，
∴点Q的坐标为（2，-$\frac{3}{2}$），
OQ=CQ=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
∵S_△OQC=$\frac{1}{2}$OC•QT=$\frac{1}{2}$CQ•OG，
∴OG=$\frac{OC•QT}{CQ}$=$\frac{3×2}{\frac{5}{2}}$=$\frac{12}{5}$，
∴sin∠OQC=$\frac{OG}{OQ}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、圆周角定理、三角函数、三角形外角的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，将∠DAP=∠ACB转化为∠PAB=∠OCA是解决第（2）小题的关键，构造辅助圆是解决第（3）小题的关键．