Question

12．如图，已知经过点D（2，-$\sqrt{3}$）的抛物线y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）填空：m的值为$\sqrt{3}$，点A的坐标为（-1，0）．
（2）连接AD，射线AF在x轴的上方且满足∠BAF=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AF于点E．动点M，N分别在射线AB，AF上，求ME+MN的最小值．
（3）l是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G．请探究：是否存在点P，使得以P，G，A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点D的坐标带入抛物线解析式中，利用待定系数法即可求出m的值，再令抛物线解析式中y=0，求出x值，即可得出点A、B的坐标，由此即可得出结论；
（2）过点D作DN⊥AF于点N，交x轴于点M，连接ME，此时ME+MN=DN最小，根据三角形的面积找出关于DN长度的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）假设存在．根据点A、B、D的坐标可得出△ABD为1：$\sqrt{3}$：2的直角三角形，设出点P、G点的坐标，利用相似三角形的性质即可找出关于m的含绝对值的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵点D（2，-$\sqrt{3}$）在抛物线y=$\frac{m}{3}$（x+1）（x-3）（m为常数，且m＞0）的图象上，
∴-$\sqrt{3}$=$\frac{m}{3}$（2+1）（2-3），
解得：m=$\sqrt{3}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）．
令抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）中y=0，则有$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）（x-3）=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∵点A位于点B的左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）．
故答案为：$\sqrt{3}$；（-1，0）．
（2）过点D作DN⊥AF于点N，交x轴于点M，连接ME，此时ME+MN=DN最小，如图1所示．

∵点D（2，-$\sqrt{3}$），∠BAF=∠BAD，
∴点D、E关于x轴对称，
∴点E（2，$\sqrt{3}$），
∵点A（-1，0），
∴AE=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（0-\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，DE=2$\sqrt{3}$．
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$DE•（x_D-x_A）=$\frac{1}{2}$AE•DH，
∴DH=3，
∴ME+MN的最小值为3．
（3）假设存在．如图2所示．

∵A（-1，0），B（3，0），D（2，-$\sqrt{3}$），
∴AB=4，AD=2$\sqrt{3}$，BD=2，
∴△ABD为1：$\sqrt{3}$：2的直角三角形．
∵以P，G，A为顶点的三角形与△ABD相似，
∴∠PGA=∠ADB=90°，
∴$\frac{AG}{PG}$=$\sqrt{3}$或$\frac{PG}{AG}$=$\sqrt{3}$．
设点P（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）），则点G（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）），
∴AG=|$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）|，PG=|m+1|．
①当$\frac{AG}{PG}$=$\sqrt{3}$时，有|$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）|=$\sqrt{3}$|m+1|，
解得：m₁=0，m₂=-1（舍去），m₃=6．
此时点P的坐标为（6，7$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$）；
②当$\frac{PG}{AG}$=$\sqrt{3}$时，有$\sqrt{3}$|$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+1）（m-3）|=|m+1|，
解得：m₄=2，m₅=-1（舍去），m₆=4．
此时点P的坐标为（2，-$\sqrt{3}$）或（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）．
综上可知：存在点P，使得以P，G，A为顶点的三角形与△ABD相似，点P的坐标为或（0，-$\sqrt{3}$）、（2，-$\sqrt{3}$）、（4，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）或（6，7$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、轴对称中的最短路径问题已经相似三角形的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标利用待定系数法求函数解析式；（2）确定点M、N的位置；（3）找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用相似三角形的性质找出边与边之间的关系，由边与边之间的关系找出方程是关键．