Question

4．已知，AB是⊙O的直径，AE、AF是弦，BC是⊙O的切线，过点A作AD，使∠DAF=∠AEF．
（1）如图（1），求证：AD∥BC；
（2）如图（2），若AD=BC=AB，连接CD，延长AF交CD于G，连接CF，若G为CD中点，求证：CF=CB；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点I在线段FG上，且IF=AF，点P在$\widehat{BE}$上，连接BP并延长到L，使PL=PB，连接AL，延长EA、BI交于点K，已知∠BAK+∠ABL=180°，∠ABI+∠BAL=90°，⊙O的半径为$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，求四边形ALBK的面积．

Answer 1

分析 （1）连接BF，根据圆周角定理得到∠CBF=∠BAF，∠ABC=90°，等量代换得到∠BAD=∠DAF+∠BAF=∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°，即可得到结论；
（2）连接BF，由（1）的结论推出四边形ABCD是正方形，得到tan∠DAG=$\frac{1}{2}$，设正方形ABCD的各边长为2a，求得tan∠ABF=$\frac{1}{2}$，根据勾股定理得到AG=$\sqrt{5}$a，求得tan∠CFG=$\frac{1}{2}$即可得到结论；
（3）连接AP，BF，由AB是⊙O的直径，得到AP⊥BL，根据AB是⊙O的直径，得到BP⊥AI，求得tan∠ABF=tan∠DAG=tan∠IBF=$\frac{1}{2}$，得到tan∠LAP=tan∠BAP=$\frac{1}{3}$，根据已知条件得到∠PAB=∠KAD，设BK与⊙O交于H，连接AH，过K作KK?⊥AB解三角形得到AH=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，BH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{AH}{KK′}$=$\frac{BH}{BK′}$，求得AK′=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，KK′=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，于是得到结论．

解答 解：（1）连接BF，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠CBF=∠BAF，∠ABC=90°，
∵∠AEF=∠ABF，∠DAF=∠AEF，
∴∠ABF=∠DAF，
∴∠BAD=∠DAF+∠BAF=∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°，
∴AD∥BC；

（2）如图2，连接BF，
由（1）知：∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，
∵AD=BC=AB，
∴四边形ABCD是正方形，
∵G为CD中点，
∴tan∠DAG=$\frac{1}{2}$，
∵∠ABF=∠DAF，
∴tan∠ABF=$\frac{1}{2}$，
∵∠BFG=∠BCD=90°，
∴B，C，G，F四点共圆，
∴∠CFG=∠CBG，
∵tan∠CBG=$\frac{CG}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴tan∠CFG=$\frac{1}{2}$，
∴∠CFG=∠ABF，∠CFB=∠CBF，
∴CB=CF；

（3）如图3，连接AP，BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴AP⊥BL，
∵LP=BP，
∴∠LAP=∠BAP，
∵AB是⊙O的直径，
∴BP⊥AI，
∵IF=AF，
∴∠ABF=∠IBF，
∴tan∠ABF=tan∠DAG=tan∠IBF=$\frac{1}{2}$，
又∵∠ABI+∠BAL=90°，
∴∠LAP+∠BAP=45°，
∴tan（∠LAP+∠BAP）=$\frac{tan∠LAP+tan∠BAP}{1-tan∠LAP•tan∠BAP}$=1，
tan∠LAP=tan∠BAP=$\frac{1}{3}$，
∵∠BAK+∠ABL=180°，
∴∠BAK+90°-∠PAB=180°，
∴∠BAK=90°+∠PAB，
又∴∠BAK=90°+∠KAD，
∴∠PAB=∠KAD，
设BK与⊙O交于H，连接AH，过K作KK?⊥AB，
∵tan∠ABF=$\frac{1}{2}$，AB=$\sqrt{10}$，
∴BF=AI=2$\sqrt{2}$，
∵AB=BI，
∴AH=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，BH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∵△ABH∽△BKK′，
∴$\frac{AH}{KK′}$=$\frac{BH}{BK′}$，
∵KK′∥AD，
∴∠K′KA=∠DAK=∠BAP，
∴$\frac{AK′}{KK′}$=$\frac{1}{3}$，
∴AK′=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
∴KK′=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
∴S_{四边形ALBF}=S_△ALB+S_△ABK=$\frac{1}{2}$BL•AP+$\frac{1}{2}$AB•KK′=3+12=15．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．