Question

如图，△OAB是等边三角形，过点A的直线l：y=-

3

3

x+m与x轴交于点E（4，0）
（1）求△OAB的边长；
（2）在直线l上是否存在点P，使得△PAB的面积是△OAB面积的一半？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过A、O、E三点画抛物线，将△OAB沿直线l方向平移到△O′A′B′，使得点B′在抛物线上，问平移的距离是多少？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）将E坐标代入直线l解析式求出m的值，确定出直线l，根据三角形AOB为等边三角形，且A在直线l上，设等边三角形边长为2a，表示出A坐标，代入直线l方程求出a的值，即可确定出等边三角形边长；
（2）求出三角形AOB面积，由△PAB的面积是△OAB面积的一半，确定出三角形PAB面积，求出B到AE的距离BD，确定出AP长，由P在直线l上，设出P坐标为（p，-

3

3

p+

4 3

3

），利用两点间的距离公式求出p的值，确定出P坐标即可；
（3）求出过A，O，E三点抛物线解析式，找出过B且与l平行的直线方程，两者联立求出B′坐标，即可求出平移的距离．

解答：解：（1）将E（4，0）代入直线l方程得：0=-4×

3

3

+m，即m=

4 3

3

，
∴直线l解析式为y=-

3

3

x+

4 3

3

，
过A作AC⊥OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴OC=BC=

1

2

OB，
设等边△ABC边长为2a，则有OC=a，AC=

OA2-OC2

=

3

a，即A（a，

3

a），
代入直线l方程得：

3

a=-

3

3

a+

4 3

3

，
解得：a=1，即A（1，

3

），
则△ABC边长为2；
（2）过B作BD⊥AE，
∵直线l的斜率为-

3

3

，即倾斜角为150°，AB=BE=2，
∴∠AEB=∠BAE=30°，
∴BD=1，
∵S_△PAB=

1

2

S_△OAB，S_△OAB=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴S_△PAB=

1

2

AP•BD=

1

2

AP=

3

2

，即AP=

3

，
设P坐标为（p，-

3

3

p+

4 3

3

），
∴AP²=（1-p）²+（

3

+

3

3

p-

4 3

3

）²=3，
解得：p=

5

2

或p=-

1

2

，
则P的坐标为（

5

2

，

3

2

）或（-

1

2

，

3 3

2

）；
（3）设过A，E，O三点的抛物线解析式为y=ax²+bx，
将A（1，

3

），E（4，0）代入得：

a+b= 3 16a+4b=0

，
解得：a=-

3

3

，b=

4 3

3

，
∴抛物线解析式为y=-

3

3

x²+

4 3

3

x，
由题意得：BB′∥l，过点B与l平行的直线解析式为y=-

3

3

（x-2），即y=-

3

3

x+

2 3

3

，
联立得：

y=- 3 3 x2+ 4 3 3 x y=- 3 3 x+ 2 3 3

，
解得：

x= 5+ 17 2 y=- 3 + 17 6

或

x= 5- 17 2 y= 17 - 3 6

，
∴平移的距离d=

2|xB′-xB|

3

=

2 3

3

|

1± 17

2

=|

3 ± 51

3

|，
则d=

3 + 51

3

或

51 - 3

3

．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，两点间的距离公式，两直线平行时斜率满足的关系，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．