题目内容
关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+| m-9 |
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（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y=x2+（m+2）x+
| m-9 |
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（3）在（2）的条件下，以点A为直角顶点作直角三角形ACD，斜边CD与抛物线交于点P，且CP=DP，求直线AD对应的函数表达式及点P的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）得到其根的判别式大于0即可得到方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据抛物线与x轴交于A（-1-n，0），B（-2+n，0）两点，得到抛物线的对称轴为直线x=-
，然后利用-
=-
，即可求得m=1，从而确定抛物线对应的函数表达式为y=x2+3x-4，然后确定A、B两点的坐标即可；
（3）首先根据A（-4，0），C（0，-4）求得E（0，4），然后利用待定系数法确定直线AD的解析式，然后根据Rt△CAD中，PD=PC得到AP=
CD=CP．设P（x，x2+3x-4），从而得到（x+4）2+3（x2+3x-4）2=x2+（x2+3x-4+4）2，求得x的值即可求得点P的坐标．
（2）根据抛物线与x轴交于A（-1-n，0），B（-2+n，0）两点，得到抛物线的对称轴为直线x=-
| 3 |
| 2 |
| m+2 |
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| 2 |
（3）首先根据A（-4，0），C（0，-4）求得E（0，4），然后利用待定系数法确定直线AD的解析式，然后根据Rt△CAD中，PD=PC得到AP=
| 1 |
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解答：（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+
=0，
∴△=（m+2）2-4×
=m2+2m+22=（m+1）2+21，
∵（m+1）2≥0，
∴△=（m+1）2+21，
∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵抛物线与x轴交于A（-1-n，0），B（-2+n，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=-
．
∴-
=-
．
∴m=1．
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2+3x-4．
∴A、B两点的坐标分别为（-4，0），（1，0）；
（3）解：∵A（-4，0），C（0，-4），
∴AO=CO，
∴∠CAB=45°．
∵∠CAD=90°，
∴∠EAO=45°．
∴AO=OE，
∴E（0，4）；
设直线AD对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（-4，0），E（0，4）代入，得
，
解得
．
∴直线AD对应的函数表达式为y=x+4．
在Rt△CAD中，PD=PC，
∴AP=
CD=CP．
设P（x，x2+3x-4），
∴（x+4）2+3（x2+3x-4）2=x2+（x2+3x-4+4）2，
整理，得x2+2x-4=0，
解得x=-1±
．
∴点P的坐标为（-1+
，-1-
）或P（-1-
，-1-
）．
| m-9 |
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∴△=（m+2）2-4×
| (m-9) |
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∵（m+1）2≥0，
∴△=（m+1）2+21，
∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵抛物线与x轴交于A（-1-n，0），B（-2+n，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=-
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∴-
| m+2 |
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∴m=1．
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2+3x-4．
∴A、B两点的坐标分别为（-4，0），（1，0）；
（3）解：∵A（-4，0），C（0，-4），
∴AO=CO，
∴∠CAB=45°．
∵∠CAD=90°，
∴∠EAO=45°．
∴AO=OE，
∴E（0，4）；
设直线AD对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（-4，0），E（0，4）代入，得
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解得
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∴直线AD对应的函数表达式为y=x+4．
在Rt△CAD中，PD=PC，
∴AP=
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设P（x，x2+3x-4），
∴（x+4）2+3（x2+3x-4）2=x2+（x2+3x-4+4）2，
整理，得x2+2x-4=0，
解得x=-1±
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∴点P的坐标为（-1+
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点评：本题考查了二次函数的综合知识，涉及到了一元二次方程的根的判别式、待定系数法求函数的解析式等知识，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
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