Question

9．已知足球球门高是2.44米．足球教练使用仪器对某球员的一次射门进行了数据测试，球员在球门正前方8米处将球射向球门．在足球运行时，设足球运行的水平距离为x（米），足球与地面的高度为y（米）．得到如下数据：

x（米）	…	0	1.8	3	6	7.2	9	…
y（米）	…	0	1.53	2.25	3	2.88	2.25	…

（1）根据测试数据，在坐标系中描画草图，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）试通过计算，判断该运动员能否射球入门？
（3）假设该运动员每次射门时足球运动路线固定不变．
①点球时规定运动员在球门正前方11米处起脚将球射向球门，若该运动员参加点球射门，能否将球射门成功？
②若要保证射门成功，请直接写出该运动员在球门正前方的起脚位置离球门距离的范围．

Answer 1

分析 （1）利用描点法画出图象，可知函数是二次函数，利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出x=8时的函数值y与2.44比较即可判断．
（3）①求出平移后的抛物线解析式，求出x=8时的函数值y与2.44比较即可判断．
②设抛物线向右平移a个单位得到，y=-$\frac{1}{12}$（x-6-a）²+3，当x=8时，y=2.44，2.44=-$\frac{1}{12}$（2-a）²+3，求出a的值即可解决问题，同样设抛物线向左平移a个单位得到y=-$\frac{1}{12}$（x-6+a）²+3，当x=8时，y=2.44，2.44=-$\frac{1}{12}$（2+a）²+3，求出a的值即可解决问题．

解答 解：（1）如图所示：猜想y是x的二次函数．

设y关于x的函数关系式为y=ax²+bx（a≠0），
由题意，选取（3，2.25），（6，3）代入得：
$\left\{{\begin{array}{l}{9a+3b=2.25}\\{36a+6b=3}\end{array}}\right.$，
解得：a=$-\frac{1}{12}$，b=1，
∴y=-$\frac{1}{12}$x²+x．

（2）当x=8时，y=$\frac{8}{3}$＞2.44，所以球不能射入球门．

（3）①由题意可知，抛物线向左平移3米，得：y=-$\frac{1}{12}$（x-3）²+3，
当x=8时，y=$\frac{11}{12}$＜2.44．所以球能射入球门．
②设抛物线向右平移a个单位得到，y=-$\frac{1}{12}$（x-6-a）²+3，
当x=8时，y=2.44，2.44=-$\frac{1}{12}$（2-a）²+3，
解得a=2+$\frac{2\sqrt{42}}{5}$或2-$\frac{2\sqrt{42}}{5}$（舍弃），
∴0≤x≤6-$\frac{2\sqrt{42}}{5}$，
设抛物线向左平移a个单位得到y=-$\frac{1}{12}$（x-6+a）²+3，
当x=8时，y=2.44，2.44=-$\frac{1}{12}$（2+a）²+3，
解得a=$\frac{2\sqrt{42}}{5}$-2或-$\frac{2\sqrt{42}}{5}$-2（舍弃），
∴6+$\frac{2\sqrt{42}}{5}$≤x≤12．
综上所述0≤x≤6-$\frac{2\sqrt{42}}{5}$或6+$\frac{2\sqrt{42}}{5}$≤x≤12．

点评 本题考查二次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题，属于中考常考题型．