Question

17．如图，点D为⊙O上的一点，点C在直径BA的延长线上，并且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作O的切线，交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB=$\frac{CB}{BE}=\frac{2}{3}$，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到$\frac{CD}{CB}=\frac{OD}{BE}=\frac{OB}{BE}=\frac{2}{3}$，求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长．

解答 （1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵EB为⊙O的切线，ED是切线，
∴ED=EB，∵OB=OD，
∴OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=$\frac{2}{3}$，
∴tan∠OEB=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，（1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{OD}{BE}$=$\frac{OB}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$×12=8，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，
解得x=5．
即BE的长为5．

点评 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质，熟练应用切线判定是解题的关键．