Question

6．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求tan∠BCD的值．

Answer 1

分析 （1）利用线段垂直平分线的性质得出AB=CB，AD=CD，进而得出AF∥BD，AB∥FD即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出FG的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．

解答 （1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=CB，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA．
即∠BAD=∠BCD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
又∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形；

（2）解：连接FB，交AD于点G，
∵AF=DF，
∴平行四边形ABDF是菱形
∴∠DGF=90°，DG=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴FG=$\sqrt{D{F}^{2}-D{G}^{2}}$=4，
∴tan∠FDG=$\frac{FG}{DG}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠BCD=$\frac{4}{3}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和勾股定理等知识，得出平行四边形ABDF是菱形是解题关键．