Question

7．如图，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，
（1）请写出图中的等腰三角形，并证明其中一个三角形是等腰三角形；
（2）若E恰好是AD的中点，AB长为4，∠ABC=60°，求△BCF的面积．

Answer 1

分析 （1）由在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得等腰三角形有：△EFD、△ABE、△BCF；
（2）首先过点A作AH⊥BC于点H，可求得AH与AD的长，易证得△ABE≌△DFE（AAS），即可得S_△BCF=S_?ABCD．

解答 解：（1）等腰三角形有：△EFD、△ABE、△BCF．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
即△ABE是等腰三角形；

（2）过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=4，∠ABC=60°，
∴AH=2$\sqrt{3}$，AD=2AE=2AB=8，
在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠A=∠ADF，∠ABE=∠F，
又∵E恰好是AD的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADF}\\{∠ABE=∠F}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴S_△BCF=S_?ABCD=8×2$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法．