Question

7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若AD=6，CD²=2DE²+48，求BC的长度．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC得∠ADB=∠EBC，由CE⊥BD得∠A=∠BEC=90°，根据AAS可证△ABD≌△ECB；
（2）设BC=x，由△ABD≌△ECB知BE=6、BD=BC，进而表示出DE的长，结合题意根据勾股定理列出方程求解可得．

解答 解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC，
∵CE⊥BD，∠A=90°，
∴∠A=∠BEC=90°，
在△ABD和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BEC}\\{∠ADB=∠EBC}\\{BD=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
（2）设BC的长度为x，
∵△ABD≌△ECB，AD=6，
∴BE=AD=6，
又∵BC=BD，
∴DE=x-6，
∵CD²=2DE²+48，
∴x²-6²+（x-6）²=2（x-6）²+48，
解得：x=10．
故BC的长为10．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，根据已知条件推得能证全等的条件是关键．