Question

2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BC=3，AC=5，CP平分∠ACB交⊙O于点P，交直径AB于点D，则线段CP的长为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据圆周角定理及勾股定理可得AP的长，过D作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFDG是正方形，设DF=DG=x，由三角形面积公式可求出x的值，及CD的值，根据△APD∽△CBD，根据相似比可求出PD的长，进而求出CP的长．

解答 解：连接AP，BP，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=3，AC=5，
∴AB=$\sqrt{34}$，
∵CD平分∠ACB，
∴$\widehat{AP}=\widehat{BP}$，
∴AP=BP=$\sqrt{17}$，
过D作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，F，G是垂足，则四边形CFDG是正方形，
设DF=DG=x，
∴$\frac{1}{2}$AC•x+$\frac{1}{2}$BC•x=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴$\frac{1}{2}$×5•x+$\frac{1}{2}$×3x=$\frac{1}{2}$×5×3，
∴x=$\frac{15}{8}$，
∴CD=$\frac{15\sqrt{2}}{8}$，AD=$\sqrt{（\frac{15}{8}）^{2}+（5-\frac{15}{8}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{34}}{8}$，
∴BD=AB-AD=$\frac{3\sqrt{34}}{8}$，
∵∠PAB=∠PCB，
∵△APD∽△CBD，
∴PD：BD=AP：BC，
∴PD：$\frac{3\sqrt{34}}{8}$=$\sqrt{17}$：3，
∴PD=$\frac{17\sqrt{2}}{8}$，
∴PC=CD+PD=$\frac{15\sqrt{2}}{8}$+$\frac{17\sqrt{2}}{8}$=4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题综合考查了圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，及相似三角形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造正方形．