Question

2．已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，F分别在射线AD，BC上．若点E与点B关于AC对称，点E点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则tan∠ADB=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 根据轴对称的性质可得∠BAC=∠DAC，AB=AE，然后求出△ABE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠ABE=45°，再根据轴对称的性质可得∠DBE=∠DBF，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBF=∠ADB，从而得到∠ADB=∠DBE，再根据等边对等角可得BE=DE，然后用AB表示出DE、AD，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．

解答 解：∵点E与点B关于AC对称，
∴∠BAC=∠DAC，AB=AE，
又∵AB⊥AD，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∵点E点F关于BD对称，
∴∠DBE=∠DBF，
∵AD∥BC，
∴∠DBF=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBE，
∴BE=DE，
在△ABE中，BE=$\sqrt{2}$AB，
∴DE=$\sqrt{2}$AB，
∴AD=AE+DE=AB+$\sqrt{2}$AB=（$\sqrt{2}$+1）AB，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AB}{（\sqrt{2}+1）AB}$=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟记各性质并准确识图，用AB表示出AD是解题的关键．