Question

10．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=1，AB=3，BC=4．若P为线段AB上任意一点，延长PD到E，使DE=2PD，以PE、PC为边作?PCQE，则对角线PQ的最小值为7．

Answer 1

分析 设PQ与DC相交于点G，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，由PE∥CQ，DE=2PD，可得$\frac{DG}{GC}=\frac{PD}{CQ}=\frac{1}{3}$，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案．

解答 解：设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，DE=2PD，
∴$\frac{DG}{GC}$=$\frac{PD}{CQ}$=$\frac{1}{3}$，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即$\frac{AD}{CH}$=$\frac{PD}{CQ}$=$\frac{1}{3}$，
∴CH=3，
∴BH=BC+CH=4+3=7，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为7．
故答案为：7．

点评 考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．