Question

11．如图1，l₁∥l₂∥l₃直线AB和CH交于O点，分别交l₂于D，E两点，已知CE=6，HE=3，AB=12．
（1）尝试探究在图1中，求出DB和AD的长；
（2）类比延伸：平移AB使得A与H重合，如图2所示，过点D作DF∥AC，若DE=5，求线段BF的长；
（3）拓展迁移：如图3，若某个三角形ABC的面积是10，点D，E分别位于AB，CA上，DE∥BC，点F在BC上且BF=2，CF=3，如果△CBE的面积和四边形FCED的面积相等，求这个相等的面积值．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据平行线分线段成比例定理，由l₁∥l₂∥l₃得$\frac{AD}{AB}$=$\frac{HE}{HC}$，则利用比例性质可计算出AD=4，于是DB=AB-AD=8；
（2）如图2，由平移性质得BD=8，AD=4，再证明四边形DECF为平行四边形，得到DE=CF=5，根据平行线分线段成比例定理，由DF∥AC得到$\frac{BF}{FC}$=$\frac{BD}{AD}$，利用比例性质可计算BF；
（3）如图3，利用△CBE的面积和四边形FCED的面积相等可得S_△BEF=S_△DEF，根据三角形面积公式和平行线的判定可得EF∥BD，则根据平行线分线段成比例定理得$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CF}{FB}$=$\frac{3}{2}$，然后再利用三角形面积公式可计算出S_△CBE=$\frac{3}{5}$S_△ABC=6．

解答 解：（1）如图1，∵l₁∥l₂∥l₃，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{HE}{HC}$，即$\frac{AD}{12}$=$\frac{3}{3+6}$，
∴AD=4，
∴DB=AB-AD=12-4=8；
（2）如图2，
∵平移AB使得A与H重合，
∴BD=8，AD=4，
∵DF∥AC，
而DE∥CF，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DE=CF=5，
∵DF∥AC，
∴$\frac{BF}{FC}$=$\frac{BD}{AD}$，即$\frac{BF}{5}$=$\frac{8}{4}$，
∴BF=10；
（3）如图3，
∵△CBE的面积和四边形FCED的面积相等，
即S_△BEF+S_△CEF=S_△CEF+S_△DEF，
∴S_△BEF=S_△DEF，
∴EF∥BD，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CF}{FB}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△CBE=$\frac{3}{5}$S_△ABC=$\frac{3}{5}$×10=6，
即这个相等的面积值为6．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了平移的性质和三角形面积公式．