Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．
（1）求证：CD=BE．
（2）若AD=3，DC=4，求sin∠ABE的值．

Answer 1

考点：梯形,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证出△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等三角形性质得出CE=3，BE=4，根据勾股定理求出AC，求出AE，根据勾股定理求出AB，解直角三角形即可．

解答：（1）证明：∵BE⊥AC，
∴∠BEC=∠D=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ECB，
在△CDA和△BEC中

∠DAC=∠BCE ∠D=∠BEC AC=BC

∴△CDA≌△BEC（AAS），
∴CD=BE；

（2）解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=

32+42

=5，
∵△CDA≌△BEC，
∴CE=AD=3，BE=CD=4，
∴AE=5-3=2，
∴在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=

42+22

=2

5

，
∴sin∠ABE=

AE

AB

=

2

2 5

=

5

5

．

点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解直角三角形的应用，题目比较典型，综合性比较强．