Question

9．如图，在?ABCD中，∠ABC是锐角，M是AD边上一点，且BM+MC=$\frac{14}{5}$AB，BM与CD的延长线交于点E，把?ABCD沿直线CM折叠，点B恰巧与点E重合，若AB边上的一点P满足P、B、C、M在同一圆上，设BC=a，则CP=$\frac{24}{25}$a或a．（用含a的代数式表示）

Answer 1

分析 由折叠的性质得到CM⊥BE，MB=ME，BC=CE，根据平行线的性质得到∠1=∠E根据全等三角形的性质得到S_△ABM=S_△DEM，AB=DE，推出S_{平行四边形ABCD}=AB•PC，得到PC=$\frac{BM•MC}{AB}$，根据已知条件得到AB=$\frac{5}{14}$（BM+MC），得到PC=$\frac{14BM•MC}{5（BM+MC）}$，由于EC=CD+DE=AB+AB=2AB，BC=EC=a，于是得到AB=$\frac{1}{2}$a，根据完全平方公式得到a²+2BM•MC=$\frac{49}{25}$a²，于是得到结论．

解答 解：①如图，由折叠的性质得CM⊥BE，MB=ME，BC=CE，
∵AB∥CE，
∴∠1=∠E，
在△ABM与△DEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠E}\\{MB=ME}\\{∠2=∠3}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DEM，
∴S_△ABM=S_△DEM，AB=DE，
∴S_{平行四边形ABCD}=S_梯形MBCD+S_△ABM=S_梯形MBCD+S_△DEM=S_△BCE=2S_△BMC=2×$\frac{1}{2}$BM•MC，
∵S_{平行四边形ABCD}=AB•PC，
∴PC=$\frac{BM•MC}{AB}$，
∵BM+MC=$\frac{14}{5}$AB，
∴AB=$\frac{5}{14}$（BM+MC），
∴PC=$\frac{14BM•MC}{5（BM+MC）}$，
∵EC=CD+DE=AB+AB=2AB，BC=EC=a，
∴AB=$\frac{1}{2}$a，
∵（BM+MC）²=BM²+2MB•CM+CM²=BC²+2BM•MC=（$\frac{14}{5}$×$\frac{1}{2}$a）²=$\frac{49}{25}$a²，
∴a²+2BM•MC=$\frac{49}{25}$a²，
∴2BM•MC=$\frac{24}{25}$a²，
∴PC=$\frac{7×\frac{24}{25}{a}^{2}}{5×\frac{7}{5}a}$=$\frac{24}{25}$a．
②P，B，C，M四点共圆，∴与AB边的另一个交点与点B重合，
∴PC=a，
故答案为：$\frac{24}{25}$a或a．

点评 本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．