Question

3．如图，点O是等边△ABC内的一点．∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针旋转60°得到△ADC，连接OD．
（1）当α=100°时，∠ODA=40°；当α=120°时，∠ODA=60°；
（2）若α=150°，OB=5，OC=6．求OA的长．

Answer 1

分析 （1）根据条件可以证明△ODC是等边三角形，利用∠ADO=∠ADC-ODC即可得出．
（2）根据已知条件可以证明∠ADC=90°，利用勾股定理可以解决．

解答 解：（1）∵△BOC绕点C按顺时针旋转60°得到△ADC
∴∠OCD=60°，OC=CD，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠ADC=∠BOC=α=100°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=100°-60°=40°，
当∠ADC=∠BOC=α=120°时，∠ADO=∠ADC-∠ODC=120°-60°=60°
故答案分别为40°、60°．
（2）由（1）可知，当∠ADC=∠BOC=α=150°时，∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∵AD=OB=5，OD=DC=OC=6，
∴OA=$\sqrt{A{D}^{2}+D{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{61}$．

点评 本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用旋转不变性是解题的关键．