Question

18．如图，已知点E是?ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）连按AC，BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；
（2）在（1）的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．

Answer 1

分析 （1）由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到AB与DC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由E为BC的中点，得到两条线段相等，再由对应角相等，利用ASA可得出三角形ABE与三角形FCE全等；进而得出AB=FC，即可得出四边形ABFC是平行四边形，再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形，即可得出平行四边形ABFC是矩形．
（4）由等边三角形的性质得出∠AFC=60°，AF=DF=4，得出CF=CD=2，由矩形的性质得出∠ACF=90°，得出AC=$\sqrt{3}$CF=2$\sqrt{3}$，即可得出四边形ABFC的面积=AC•CF=4$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠ECF，
又∵E为BC的中点
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ECF}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\\{∠AEB=∠FEC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（ASA）；
∴AE=EF，AB=CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵∠AEC=2∠ABC=∠ABC+∠BAE，
∴∠ABC=BAE，
∴AE=BE
∵AE=EF，BE=CE，
∴AF=BC
∴平行四边形ABFC是矩形．
（2）解：∵△AFD是等边三角形，
∴∠AFC=60°，AF=DF=4，
∴CF=CD=2，
∵四边形ABFC是矩形，
∴∠ACF=90°，
∴AC=$\sqrt{3}$CF=2$\sqrt{3}$，
∴四边形ABFC的面积=AC•CF=4$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了矩形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出AB=CF是解题关键．