Question

8．如图，一次函数y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，一抛物线的顶点在直线AB上，形状与函数y=-$\frac{1}{2}$x²图象相同，它与x轴分别交于点C、D（点C在点D的左侧），抛物线的顶点为点E．
（1）写出点A、B的坐标；
（2）当点C与点A关于原点对称时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）抛物线的顶点在直线AB上，形状与函数y=-$\frac{1}{2}$x²图象相同，设顶点坐标为（m，m+2），可以假设抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+2，因为A、C关于原点对称，可得C（2，0），把（2，0）代入y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+2，得到m=0或6，由此即可解决问题．

解答 解：（1）对于一次函数y=x+2，令x=0得y=2，令y=0得x=-2，
∴A（-2，0），B（0，2）．

（2）∵抛物线的顶点在直线AB上，形状与函数y=-$\frac{1}{2}$x²图象相同，设顶点坐标为（m，m+2），
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+2，
∵A、C关于原点对称，
∴C（2，0），把（2，0）代入y=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+m+2，得到m=0或6，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2或y=-$\frac{1}{2}$（x-6）²+8．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．