Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G．给出以下四个结论：①∠B=∠C=45°；②AE=CF；③△EPF是等腰直角三角形；④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质求出∠B=∠C，即可判断①；根据等腰直角三角形求出AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，求出∠FPC=∠EPA，根据ASA推出△APE≌△CPF，推出AE=CF，PE=PF，S_△APE=S_△CPF，再逐个判断即可．

解答 解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}×$（180°-90°）=45°，∴①正确；
：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C．
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA，
在△APE和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠C}\\{AP=PC}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，∴②正确；
PE=PF，
∵∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形，∴③正确；
∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∵BP=CP，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴四边形AEPF的面积是
S=S_△APE+S_△APF
=S_△CPF+S_△APF
=S_△APC
=$\frac{1}{2}$S_△ABC，∴④正确；
即正确的有4个．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，能求出△APE≌△CPF是解此题的关键．