Question

5．如图，已知直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＜0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁≠x₂，直线AB交x轴于点C（x₀，0）．
（1）若A（-1，4），B（-2，y₂），求直线AB的解析式及C点的坐标；
（2）若C（-4，0），B（-3，1），求A点的坐标；
（3）设点M（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）为线段AB的中点，记$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=t，直接写出t与x₀之间的关系为x₀=2t．（不要求证明）

Answer 1

分析 （1）将点A（-1，4）代入y=$\frac{m}{x}$，求出反比例函数解析式，将B（-2，y₂）代入，求出y₂的值，再将A、B两点坐标代入y=kx+b，利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出C点的坐标；
（2）把C（-4，0），B（-3，1）代入y=kx+b，利用待定系数法求出直线AB的解析式，把B（-3，1）代入y=$\frac{m}{x}$，求出双曲线的解析式，将直线与双曲线的解析式联立组成方程组，解方程组即可求出A点的坐标；
（3）将点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y=kx+b，利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出C点的坐标，由双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＜0）过点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得出x₁•y₁=x₂•y₂=m，那么x₀=x₁+x₂，进而得出x₀=2t．

解答 解：（1）∵双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＜0）过点A（-1，4），B（-2，y₂），
∴m=-1×4=-4，-2y₂=m，
∴y=-$\frac{4}{x}$，y₂=2，
∵直线y=kx+b过点A（-1，4），B（-2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{-2k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=2x+6，
当y=0时，2x+6=0，解得x=-3，
∴C点的坐标为（-3，0）；

（2）∵直线y=kx+b过点C（-4，0），B（-3，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+4．
∵双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＜0）过点B（-3，1），
∴m=-3×1=-3，
∴y=-$\frac{3}{x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A点的坐标为（-1，3）；

（3）∵直线y=kx+b过点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k{x}_{1}+b={y}_{1}}\\{k{x}_{2}+b={y}_{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}}\\{b=\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$x+$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
当y=0时，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$x+$\frac{{x}_{2}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=0，解得x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
∴C点的坐标为（$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，0）；
∵双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＜0）过点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁•y₁=x₂•y₂=m，
∴y₁=$\frac{m}{{x}_{1}}$，y₂=$\frac{m}{{x}_{2}}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}•\frac{m}{{x}_{2}}-{x}_{2}•\frac{m}{{x}_{1}}}{\frac{m}{{x}_{2}}-\frac{m}{{x}_{1}}}$=$\frac{{mx}_{1}^{2}-{mx}_{2}^{2}}{m{x}_{1}-m{x}_{2}}$=x₁+x₂，
∵$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=t，
∴x₀=2t．
故答案为x₀=2t．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了利用待定系数法求直线与双曲线的解析式．