Question

15．某校足球队在一次训练中，一球员从高2.4米的球门正前方m米处将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系
（1）求出抛物线的函数解析式
（2）当m=10时，试判断足球能否射入球门，并说明理由
（3）球员射门时，若满足t₂＞m＞t₁，球部越过球门，求t₁的最小值及t₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）²+3，将（0，0）代入可得；
（2）求出x=10时y的值，判断即可；
（3）分别求出y=0和y=12时x的值即可知其范围．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）²+3，
将点（0，0）代入，得：36a+3=0，
解得：a=-$\frac{1}{12}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{12}$（x-6）²+3；

（2）当m=10即x=10时，y=-$\frac{1}{12}$（10-6）²+3=$\frac{5}{3}$，
∵0＜$\frac{5}{3}$＜2.4，
∴足球能射入球门；

（3）当y=0时，-$\frac{1}{12}$（x-6）²+3=0，
解得：x=0或x=12；
当y=2.4时，-$\frac{1}{12}$（x-6）²+3=2.4，
解得：x=6+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$或x=6-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴6+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$≤x≤12，
即t₁的最小值为6+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，t₂的最大值为12．

点评 本题主要考查二次函数的应用，根据题意弄清球不过球门时对应的函数值的状态是关键．