Question

20．如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F为AD的中点，连结EF．
（1）找出图中所有的等腰三角形，并证明其中的一个；
（2）若AE=8，DE=6，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）图中△ADC，△AFE，△DFE都，△ADB是等腰三角形．根据等腰三角形的判定方法一一证明即可．
（2）求出AB的长，再根据三角形的中位线定理即可解决问题．

解答 解：（1）图中△ADC，△AFE，△DFE都，△ADB是等腰三角形．
理由：∵CD∥AB，
∴∠C=∠BAC，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠C=∠DAC，
∴△DAC是等腰三角形，
∵DB平分∠ADC，
∴DB⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AF=FD，
∴EF=AF=FD，
∴△AEF，△DFE都是等腰三角形．
∵∠AED=∠AEB=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，∠EAB+∠B=90°，
∵∠DAE=∠EAB，
∴∠ADE=∠B，
∴△ADB是等腰三角形．

（2）∵AD=AB，AE⊥BD，
∴DE=EB=6，
在Rt△AEB中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+E{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵DF=FA，DE=EB，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=5．

点评 本题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，需要用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．