Question

5．若$\frac{a}{ab+a+1}$+$\frac{b}{bc+b+1}$+$\frac{c}{ca+c+1}$=1，则abc=1．

Answer 1

分析 设abc=k再设ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w根据已知条件，$\frac{a}{u}$+$\frac{b}{v}$+$\frac{c}{w}$=1，通过化简即可得到结果．

解答 解：设abc=k
再设ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w
以上三式两边分别乘以c，a，b可得：
abc+ca+c=cu，代入abc=k并根据ac+c+1=w得到：k-1+w=cu①，
abc+ab+a=av，代入abc=k并根据ab+a+1=u得到：k-1+u=av②，
abc+bc+b=bw，代入abc=k并根据bc+b+1=v得到：k-1+v=bw③，
根据已知条件，$\frac{a}{u}$+$\frac{b}{v}$+$\frac{c}{w}$=1，
两边同乘以uvw，得到avw+buw+cuv=uvw，
下面把①式两边乘以v，②式两边乘以w，③式两边乘以u，三式相加得到
（k-1）（u+v+w）+uv+vw+uw=avw+buw+cuv=uvw④
①②③三式相乘，可得：（k-1+u）（k-1+v）（k-1+w）=abcuvw=kuvw，
等号左边把（k-1）看作一项展开，把右边的kuvw移到左边，就有：
（k-1）³+（u+v+w）（k-1）²+（uv+vw+uw）（k-1）-uvw（k-1）=0
（k-1）[（k-1）²+（u+v+w）（k-1）+（uv+vw+uw）-uvw]=0⑤，
把④代入⑤化简为：（k-1）³=0，
所以k=1，
即abc=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了分式的加减法，正确的化简是解题的关键．