Question

14．如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象经过P点、Q点，求a的值；
（2）若△OPQ是以OQ为底的等腰直角三角形，求a的值；
（3）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（4）当P点、Q点中一点到达B点时，PQ=2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意表示出点P、点Q的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答；
（2）证明△OCP≌△PBQ，得到BP=OC=8，求出CP和AQ的长，计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质列出算式，计算即可；
（4）分P点到达B点和Q点到达B点两种情况，根据矩形的性质解答．

解答 解：（1）∵A（10，0），C（0，8），点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动，同时点Q在边AB上以每秒a个单位长的速度由点A向点B运动，
∴P（t，8），Q（10，at），
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$图象经过P点、Q点，
∴8t=10at，
解得a=0.8；
（2）如图（1），∵△OPQ是以OQ为底的等腰直角三角形，
∴∠OPQ=90°，OP=PQ，
∴∠OPC+∠BPQ=90°，
∵四边形OABC为矩形，
∴∠OCP=∠B=90°，
∴∠COP+∠OPC=90°，
∴∠COP=∠BPQ，
在△OCP和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCP=∠B}\\{∠COP=∠BPQ}\\{OP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△PBQ（AAS），
∴BP=OC=8，
∴CP=BC-BP=2，AQ=AB-BQ=6，
∴a=$\frac{6}{2}$=3；
（3）∵OQ垂直平分AP，
∴OP=OA，PQ=QA，
∴$\sqrt{{t}^{2}+{8}^{2}}$=10，
解得t=6，
∴Q（10，6a），P（6，8），
∵PQ=QA，
∴（10-6）²+（6a-8）²=（6a）²，
解得a=$\frac{5}{6}$；
（4）当P点到达B点，PQ=2时，AQ=8-2=6，
则a=$\frac{6}{10}$=0.6，
当Q点到达B点，PQ=2时，CP=8-2=6，AB=6，
则a=$\frac{6}{6}$=1，
答：a的值为1或0.6．

点评 本题考查的是反比例函数的应用、矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．