Question

9．如图，已知双曲线y=$\frac{2}{x}$与直线y=x相交于A、B两点，点C（2，2）、D（-2，-2）在直线y=x上．
（1）若点P（1，m）为双曲线y=$\frac{2}{x}$上一点，求PD-PC的值（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M，N两点间的距离为$|{MN}|=\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}$）
（2）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，请问PD-PC的值是否为定值？请说明理由．（参考公式：若a≥0，b≥0，则a+b≥2$\sqrt{ab}$）
（3）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，连接PC并延长PC交双曲线另一点E，当P点使得PE=4时，求P的坐标．

Answer 1

分析 （1）只需求出点P的坐标，然后用两点间的距离公式就可求出PD-PC的值；
（2）由题可得点P（x，$\frac{2}{x}$），然后运用两点间的距离公式可得PD=|x+$\frac{2}{x}$+2|，PC=|x+$\frac{2}{x}$-2|．由x＞0可推出x+$\frac{2}{x}$+2＞0，x+$\frac{2}{x}$-2＞0，从而可求出PD-PC的值；
（3）设直线PE的解析式为y=kx+b，由点C（2，2）在直线PE上可得b=2-2k，即得直线PE的解析式为y=kx+2-2k，则x₁、x₂是方程kx+2-2k=$\frac{2}{x}$即kx²+（2-2k）x-2=0的两根，然后结合条件PE=4，运用两点间的距离公式和根与系数的关系求出k的值，代入方程kx²+（2-2k）x-2=0，解这个方程就可得到点P的坐标．

解答 解：（1）∵点P（1，m）为双曲线y=$\frac{2}{x}$上一点，
∴m=2，P（1，2）．
∵C（2，2）、D（-2，-2），
∴PD=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（-2-2）^{2}}$=5，
PC=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2-2）^{2}}$=1，
∴PD-PC=5-1=4；

（2）PD-PC的值是定值4．
理由：∵点P（x，y）（x＞0）为双曲线y=$\frac{2}{x}$上一动点，
∴y=$\frac{2}{x}$，P（x，$\frac{2}{x}$），
∴PD=$\sqrt{（x+2）^{2}+（\frac{2}{x}+2）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}+4x+\frac{8}{x}+8}$
=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}+4（x+\frac{2}{x}）+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}+2）^{2}}$=|x+$\frac{2}{x}$+2|．
同理PC=|x+$\frac{2}{x}$-2|．
∵x＞0，∴$\frac{2}{x}$＞0，
∴x+$\frac{2}{x}$+2＞0，x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，
∴x+$\frac{2}{x}$-2＞0，
∴PD-PC=（x+$\frac{2}{x}$+2）-（x+$\frac{2}{x}$-2）=4；

（3）设直线PE的解析式为y=kx+b，
∵点C（2，2）在直线PE上，
∴2k+b=2，
∴b=2-2k，
∴直线PE的解析式为y=kx+2-2k，
设x₁、x₂是方程kx+2-2k=$\frac{2}{x}$即kx²+（2-2k）x-2=0的两根，
则有x₁+x₂=$\frac{2k-2}{k}$=2-$\frac{2}{k}$，x₁•x₂=-$\frac{2}{k}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）2-4x₁•x₂=（2-$\frac{2}{k}$）²-4（-$\frac{2}{k}$）=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∴PE²=（x₁-x₂）²+（$\frac{2}{{x}_{1}}$-$\frac{2}{{x}_{2}}$）²=（x₁-x₂）²+4•$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{（{x}_{1}•{x}_{2}）^{2}}$
=（4+$\frac{4}{{k}^{2}}$）+4•$\frac{4+\frac{4}{{k}^{2}}}{\frac{4}{{k}^{2}}}$=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²+4=$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²+8．
∵PE=4，∴$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²+8=16，
∴$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²-8=0，
整理得（k²-1）2=0，
解得k₁=1，k₂=-1．
由条件“延长PC交双曲线另一点E”可得k＜0，
∴k=-1，
代入kx²+（2-2k）x-2=0得，
-x²+4x-2=0，
解得x₁=2+$\sqrt{2}$，x₂=2-$\sqrt{2}$．
当x=2+$\sqrt{2}$时，$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，点P（2+$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{2}$）．
当x=2-$\sqrt{2}$时，$\frac{2}{x}$=$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$，点P（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）．
∴点P的坐标为（2+$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{2}$）或（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了直线与双曲线的交点问题、双曲线上点的坐标特征、两点间的距离公式、根与系数的关系、解高次方程等知识，将根号内的代数式配成完全平方是解决第（2）小题的关键，将两点间的距离公式与根与系数的关系相结合是解决第（3）小题的关键．