Question

11．如图，顶点为A（$\sqrt{3}$，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，
（2）先求出直线OA对应的一次函数的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．再求出直线BD的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2．最后求出交点坐标C，D即可；
（3）先判断出C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．作辅助线判断出△C'PO∽△C'DQ即可．

解答 解：（1）∵抛物线顶点为A（$\sqrt{3}$，1），
设抛物线解析式为y=a（x-$\sqrt{3}$）²+1，
将原点坐标（0，0）在抛物线上，
∴0=a（$\sqrt{3}$）²+1
∴a=-$\frac{1}{3}$．
∴抛物线的表达式为：y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．  
（2）令y=0，得 0=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴x=0（舍），或x=2$\sqrt{3}$
∴B点坐标为：（2$\sqrt{3}$，0），
设直线OA的表达式为y=kx，
∵A（$\sqrt{3}$，1）在直线OA上，
∴$\sqrt{3}$k=1，
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线OA对应的一次函数的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵BD∥AO，
设直线BD对应的一次函数的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
∵B（2$\sqrt{3}$，0）在直线BD上，
∴0=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$+b，
∴b=-2，
∴直线BD的表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-2．

由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-2\\ y=-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x\end{array}\right.$
得交点D的坐标为（-$\sqrt{3}$，-3），
令x=0得，y=-2，
∴C点的坐标为（0，-2），
由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD，OB=2$\sqrt{3}$=OD．
在△OAB与△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}OA=OC\\ AB=CD\\ OB=OD\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△OCD．
（3）点C关于x轴的对称点C'的坐标为（0，2），
∴C'D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小．
过点D作DQ⊥y，垂足为Q，
∴PO∥DQ．
∴△C'PO∽△C'DQ．
∴$\frac{PO}{DQ}=\frac{C'O}{C'Q}$，
∴$\frac{PO}{{\sqrt{3}}}=\frac{2}{5}$，
∴PO=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和全等，解本题的关键是确定函数解析式．