Question

10．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx+1经过点A（-2，0）与y轴正半轴交于C点，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点B，过B作BD⊥x轴于D，连接DC，若AC=CB．
（1）求m、k的值；
（2）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上是否存在一点P（异于点B），使△BDP的面积与△BDC的面积相等？如果有，求出P点坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得b，进而求得D的坐标，根据D的坐标求得C的坐标，代入反比例函数的解析式即可求得k的值；
（2）过点（4，0）作BD的平行线，交反比例函数的图象于P，此时△BDP与△BDC同底等高，所以△BDP与△BDC面积相等，把x=4代入反比例函数的解析式即可求得P的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=mx+1经过点A（-2，0），
∴0=-2m+1，解得m=$\frac{1}{2}$，
∴直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
由直线的解析式可知C（0，1），
∵AC=CB，
∴DC=AC=BC，
∴OA=OD=2，
∴D（2，0），
把x=2代入y=$\frac{1}{2}$x+1得，y=$\frac{1}{2}$×2+1=2，
∴B（2，2），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点B，
∴k=2×2=4；
（2）∵OD=2，BD⊥x轴于D，
∴过点（4，0）作BD的平行线，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象于P，此时△BDP与△BDC同底等高，所以△BDP与△BDC面积相等，
∴把x=4代入y=$\frac{4}{x}$得y=1，
∴P点坐标为（4，1）．

点评 本题考查了待定系数法求直线的解析式和反比例函数的解析式，三角形的面积等，数形结合思想的运用是解题的关键．