Question

1．如图，已知：A（m，4）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{12}{x}$的公共点
（1）若该一次函数分别与x轴y轴交于E、F两点，且直角△EOF的外心为点A，试求它的解析式；
（2）在第（1）问的条件下，在y=$\frac{12}{x}$的图象上另取一点B，作BK⊥x轴于K，若在y轴上存在点G，使得△GFA和△BOK的面积相等，试求点G的坐标？
（3）若（2）中的点B的坐标为（m，3m+6）（其中m＞0），在线段BK上存在一点Q，使得△OQK的面积是$\frac{1}{2}$，设Q点的纵坐标为n，求4n²-2n+9的值．

Answer 1

分析 （1）把点A代入反比例函数的解析式可求出点A的坐标，再根据点A为直角△EOF的外心可求出点E、F的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题；
（2）根据反比例函数的几何意义可求出△BOK的面积，即可得到△GFA的面积，从而可求出FG的长，然后结合点F的坐标就可解决问题；
（3）把点B代入反比例函数的解析式可求出m，然后根据条件可求出n，从而可求出4n²-2n的值，就可解决问题．

解答 解：（1）∵A（m，4）在反比例函数y=$\frac{12}{x}$上，
∴4m=12，
解得m=3，
∴A（3，4）．
∵点A是直角△EOF的外心，
∴点A是线段EF的中点，
∴E（6，0），F（0，8）．
∵点E（6，0），F（0，8）在直线y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=8}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8；

（2）∵BK⊥x轴，
∴S_△BOK=$\frac{12}{2}$=6，
∴S_△GFA=S_△BOK=6，
∴$\frac{1}{2}$GF•3=6，
∴GF=4．
∵F的坐标为（0，8），
∴G的坐标为（0，12）或（0，4）；

（3）∵B（m，3m+6）在反比例函数y=$\frac{12}{x}$的图象上，
∴m（3m+6）=12，
解得m₁=$\sqrt{5}$-1，m₂=-$\sqrt{5}$-1．
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{5}$-1．
∵S_△OQK=$\frac{1}{2}$mn=$\frac{1}{2}$，
∴n=$\frac{1}{m}$=$\frac{1}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，
∴4n=$\sqrt{5}$+1，
∴4n-1=$\sqrt{5}$，
∴16n²-8n+1=5，
∴4n²-2n=1，
∴4n²-2n+9=10．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的几何意义、直角△EOF的外心、中点坐标公式、运用待定系数法求一次函数的解析式等知识，需要注意的是线段的长度确定，端点的坐标未必确定．