Question

1．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（　　）

• A． -2≤x≤2
• B． -2$\sqrt{2}$＜x＜2$\sqrt{2}$
• C． 0≤x≤2$\sqrt{2}$
• D． -2$\sqrt{2}$≤x≤2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 将动直线AB向上或向下平移，因为直线AB与⊙O有公共点，可以有一个或两个，即直线与⊙O相交或相切；分别计算相切时所对应的x的值，写出x的取值范围即可．

解答 解：如图所示，当AB与⊙O相切时，有一个公共点，设这个公共点为G，连接OG，则OG⊥CD，
这时OG=2，∠OCD=45°，
sin45°=$\frac{OG}{OC}$，
OC=$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即x=2$\sqrt{2}$，
如果直线AB在第二象限与圆相切，这时同理可求得x=-2$\sqrt{2}$，
∴x的取值范围是-2$\sqrt{2}$≤x≤2$\sqrt{2}$，
故选D．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，明确直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交；当直线AB与x轴正方向夹角为45°时，可以理解为所构成的三角形的关系，也可以理解为直线AB与直线y=x平行．