Question

12．已知抛物线y=x²-2x-3的顶点为D，点P、Q是抛物线上的动点，若△DPQ是等边三角形，求△DPQ的边长．

Answer 1

分析 y=x²-2x-3可变形为y=（x-1）²-4，从而求得点D的坐标；根据题意设P点坐标为（1+k，-4+$\sqrt{3}$k），然后利用二次函数图象上坐标的特征求得关于k的一元二次方程，解方程即可求得k的值，进而求得△DPQ的边长．

解答 解：y=x²-2x-3可变形为y=（x-1）²-4，
∴D点坐标为（1，-4），
要使△DPQ是等边三角形，则PQ∥x轴，
∴设P点坐标为（1+k，-4+$\sqrt{3}$k），
∴-4+$\sqrt{3}$k=（1+k）²-2×（1+k）-3，
解得：k₁=0（舍去），k₂=$\sqrt{3}$，PQ=2k=2$\sqrt{3}$，
∴△DPQ的边长为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质．根据二次函数的性质和等边三角形的性质得出PQ∥x轴是解题的关键．