Question

4．某公司投资1200万元购买了一条新生产线生产新产品．根据市场调研，生产每件产品需要成本50元，该产品进入市场后不得低于80元/件且不得超过160元/件，该产品销售量y（万件）与产品售价x（元）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）第一年公司是盈利还是亏损？求出当盈利最大或亏损最小时的产品售价；
（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者亏损最小时，公司第二年重新确定产品售价，能否使前两年盈利总额达790万元？若能，求出第二年产品售价；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设y=kx+b，则由图象可求得k，b，从而得出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围80≤x≤160；
（2）设公司第一年获利S万元，则可表示出S=-$\frac{1}{10}$（x-150）²-200≤-200，则第一年公司亏损了，当产品售价定为150元/件时，亏损最小，最小亏损为200万元；
（3）假设两年共盈利790万元，则（x-50）（-$\frac{1}{10}$x+25）+（-200）=790，解得x的值在80≤x≤160内．

解答 解：（1）设y=kx+b．由图象可得：$\left\{\begin{array}{l}{80k+b=17}\\{160k+b=9}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=25}\end{array}\right.$．
所以y=-$\frac{1}{10}$x+25，
故x的取值范围是80≤x≤160．
（2）设该公司第一年获利S万元，则
S=（x-50）×y-1200=（x-50）（-$\frac{1}{10}$x+25）-1200
=-$\frac{1}{10}$x²+30x-2450
=-$\frac{1}{10}$（x-150）²-200≤-200，
所以第一年公司是亏损，且当亏损最小时的产品售价为150元/件．
（3）由题意可列方程（x-50）（-$\frac{1}{10}$x+25）+（-200）=790，
解得：x₁=140，x₂=160．
两个x的值都在80≤x≤160内，
所以第二年售价是140元/件或160/件．

点评 本题是一道一次函数的综合题，考查了二次函数的应用，还考查了用待定系数法求一次函数的解析式．