Question

5．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于点E、F，交CB的延长线于点D，求证：$\frac{BE}{EA}$+$\frac{CF}{FA}$=1．

Answer 1

分析 连接AG并延长交BC于H，作BM∥AH交DF于M，作CN∥AH交DF的延长线于N，根据重心的性质得到H是BC的中点，AG=2GH，根据梯形的中位线定理得到BM+CN=2GH，根据平行线分线段成比例定理计算即可．

解答 证明：连接AG并延长交BC于H，作BM∥AH交DF于M，作CN∥AH交DF的延长线于N，
∵点G是△ABC的重心，
∴H是BC的中点，AG=2GH，
∴GH是梯形BCNM的中位线，即BM+CN=2GH，
∵BM∥AH，
∴$\frac{BE}{EA}$=$\frac{BM}{AG}$，
∵CN∥AH，
∴$\frac{CF}{FA}$=$\frac{CN}{AG}$，
∴$\frac{BE}{EA}$+$\frac{CF}{FA}$=$\frac{BM}{AG}$+$\frac{CN}{AG}$=$\frac{BM+CN}{AG}$=$\frac{2GH}{AG}$=1．

点评 本题考查的是三角形重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．