Question

1．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是$\widehat{AB}$的中点．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=6，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，证明结论；
（2）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，
∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP，
在△PAO和△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOP=∠COP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，
∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，
∵点E是$\widehat{AB}$ 的中点，
∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，
CM=MB=3$\sqrt{2}$，
BE=AB•cos45°=5$\sqrt{2}$，
∴EM=$\sqrt{E{B}^{2}-B{M}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
则CE=CM+EM=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，添加辅助线是解题的关键，记住特殊三角形三边关系，属于中考常考题型．