Question

14．如图，BC为⊙O直径，E为弧BD的中点．
（1）如图1，若⊙O的半径为2，∠DCE=22.5°，过E作EG⊥BC，垂足为G，求EG的长；
（2）如图2，连接CE交BD于H，切线CA与BD的延长线交于点A，求证：AH=AC．

Answer 1

分析 （1）连接OE，如图1，利用圆周角定理得到∠1=∠DCE=22.5°，再利用三角形外角性质可计算出∠3=45°，则可判定△OEG为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算EG的长；
（2）连接BE，如图2，利用圆周角定理得到∠1=∠2，∠BEC=90°，则∠2+∠4=90°，再利用切线性质得∠ACB=90°，即∠1+∠ACE=90°，所以∠ACE=∠4，易得∠ACE=∠3，然后根据等腰三角形的判定定理尽快得到结论．

解答 （1）解：连接OE，如图1，
∵E为弧BD的中点，
∴∠1=∠DCE=22.5°，
∵OC=OE，
∴∠1=∠2=22.5°，
∴∠3=∠1+∠2=45°，
∵EG⊥BC，
∴△OEG为等腰直角三角形，
∴EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$；
（2）证明：连接BE，如图2，
∵E为弧BD的中点，
∴∠1=∠2，
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，即∠2+∠4=90°，
∵AC为切线，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠4，
∵∠3=∠4，
∴∠ACE=∠3，
∴AC=AH．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决本题的关键是灵活运用圆周角定理．