Question

1．M为圆O外一定点，MA、MB是圆O的两条切线，AB与OM交于N，P为圆O上一动点，求证：$\frac{PN}{PM}$为定值．

Answer 1

分析 连接OP，OB，根据切线的性质得到AM=BM，∠AMO=∠BMO，推出△BON∽△MOB，根据相似三角形的性质得到$\frac{OB}{OM}=\frac{ON}{OB}$，等量代换得到$\frac{OP}{OM}=\frac{ON}{OP}$，通过△POM∽△NOP，得到$\frac{PM}{PN}=\frac{OM}{OP}=\frac{OM}{OB}$，即可得到结论．

解答 解：连接OP，OB，
∵MA、MB是圆O的两条切线，
∴AM=BM，∠AMO=∠BMO，
∴OM⊥AB，OB⊥MB，
∴∠ONB=∠OBM=90°，∠BON=∠MOB，
∴△BON∽△MOB，
∴$\frac{OB}{OM}=\frac{ON}{OB}$，
∵OP=OB，
∴$\frac{OP}{OM}=\frac{ON}{OP}$，
∵∠POM=∠NOP，
∴△POM∽△NOP，
∴$\frac{PM}{PN}=\frac{OM}{OP}=\frac{OM}{OB}$，
∵OM，OB为定值，
∴$\frac{PN}{PM}$为定值．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．