Question

1．如图，抛物线y=-x²+bx+c经过直线y=-x+5与坐标轴的交点B，C．已知D（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）M，N分别是BC，x轴上的动点，求△DMN周长最小时点M，N的坐标，并写出周长的最小值；
（3）连接BD，设M是平面上一点，将△BOD绕点M顺时针旋转90°后得到△B₁O₁D₁，点B，O，D的对应点分别是B₁，O₁，D₁，若△B₁O₁D₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点O₁的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，作点D关于BC的对称点D′，点D关于x轴的对称点D″，连接D′D″交BC于M，交x轴于N，连接DM，DN．此时△DMN的周长最小．求出D′、D″的坐标，直线D′D″的解析式即可解决问题；
（3）分两种情形①如图2中，当O′和D′在抛物线上时，易知点O′与点C重合，CD′=OD=3，此时O′（0，5）．②如图3中，点B′、D′在抛物线上时，设点B′（x，-x²+4x+5）的横坐标为x+1，则点D′的坐标为（x+3，-x²+4x+10）．把D′的坐标代入抛物线的解析式，求出x即可解决问题；

解答 解：（1）由题意C（0，5），B（5，0），
把C（0，5），B（5，0）的坐标代入y=-x²+bx+c得到$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+5．

（2）如图1中，作点D关于BC的对称点D′，点D关于x轴的对称点D″，连接D′D″交BC于M，交x轴于N，连接DM，DN．此时△DMN的周长最小．

易知D′（2，5），D″（0，-3），
设直线D′D″的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{2k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴y=4x-3，
∴N（$\frac{3}{4}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=4x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{8}{5}$，$\frac{17}{5}$），
∴△DMN周长最小时点M（$\frac{8}{5}$，$\frac{17}{5}$），N（$\frac{3}{4}$，0），
△DMN的周长的最小值=D′D″=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．

（3）①如图2中，当O′和D′在抛物线上时，易知点O′与点C重合，CD′=OD=3，此时O′（0，5）．

②如图3中，点B′、D′在抛物线上时，设点B′（x，-x²+4x+5）的横坐标为x+1，则点D′的坐标为（x+3，-x²+4x+10）．

把D′坐标代入y=-x²+4x+5中，得到-x²+4x+10=-（x+3）²+4（x+3）+5，
解得x=-$\frac{1}{3}$，
∴B′（-$\frac{1}{3}$，$\frac{32}{9}$），
∴O′（-$\frac{1}{3}$，$\frac{77}{9}$），
综上所述，满足条件的点O′的坐标为（0，5）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{77}{9}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、轴对称、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．