Question

16．先阅读下列材料，然后解后面的问题．
材料：一个三位自然数$\overline{abc}$（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（$\overline{abc}$）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．
（1）对于“欢喜数$\overline{abc}$”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数$\overline{abc}$”能被99整除；
（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）-F（n）=3，求m-n的值．

Answer 1

分析 （1）根据欢喜数的定义可得出a+c=b，由$\overline{abc}$=100a+10b+c可得出$\overline{abc}$=99a+11b，结合b能被9整除即可证出“欢喜数$\overline{abc}$”能被99整除；
（2）设m=$\overline{{a}_{1}b{c}_{1}}$，n=$\overline{{a}_{2}b{c}_{2}}$（且a₁＞a₂），根据F（m）-F（n）=（a₁-a₂）（b-a₁-a₂）=3结合a₁、a₂、b均为整数，即可得出a₁-a₂=1或a₁-a₂=3，将其代入m-n=99（a₁-a₂）中即可得出结论．

解答 （1）证明：∵$\overline{abc}$为欢喜数，
∴a+c=b．
∵$\overline{abc}$=100a+10b+c=99a+10b+a+c=99a+11b，b能被9整除，
∴11b能被99整除，99a能被99整除，
∴“欢喜数$\overline{abc}$”能被99整除．
（2）设m=$\overline{{a}_{1}b{c}_{1}}$，n=$\overline{{a}_{2}b{c}_{2}}$（且a₁＞a₂），
∵F（m）-F（n）=a₁•c₁-a₂•c₂=a₁•（b-a₁）-a₂（b-a₂）=（a₁-a₂）（b-a₁-a₂）=3，a₁、a₂、b均为整数，
∴a₁-a₂=1或a₁-a₂=3．
∵m-n=100（a₁-a₂）-（a₁-a₂）=99（a₁-a₂），
∴m-n=99或m-n=297．
∴若F（m）-F（n）=3，则m-n的值为99或297．

点评 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：（1）找出$\overline{abc}$=99a+11b；（2）由F（m）-F（n）=3，求出a₁-a₂=1或a₁-a₂=3．