Question

11．已知关于x的方程（k²-1）x²+（2k+1）x+1=0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有两个互为相反数的实数根，求k的值，并求此时方程的根．

Answer 1

分析 （1）分k²-1=0和k²-1≠0考虑，当k²-1=0时求出k值，将其代入原方程解之即可得出方程有解；当k²-1≠0时，根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上即可得出结论；
（2）设方程的两根为x₁、x₂，根据根的判别式结合x₁、x₂互为相反数即可得出关于k的分式方程，解之即可得出k的值，将k值代入原方程后解之即可得出结论．

解答 解：（1）①当k²-1=0时，k=±1，
当k=1时，原方程为3x+1=0，解得：x=-$\frac{1}{3}$；
当k=-1时，原方程为-x+1=0，解得：x=1；
②当k²-1≠0，即k≠±1时，△=（2k+1）²-4（k²-1）=4k+5≥0，
解得：k≥-$\frac{5}{4}$，
∴k≥-$\frac{5}{4}$且k≠±1．
综上所述，k≥-$\frac{5}{4}$时，方程有实数根．
（2）设方程的两根为x₁、x₂，
∵方程有两个互为相反数的实数根，
∴x₁+x₂=-$\frac{2k+1}{{k}^{2}-1}$=0，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，
经检验可得出k=-$\frac{1}{2}$是分式方程-$\frac{2k+1}{{k}^{2}-1}$=0的解．
当k=-$\frac{1}{2}$时，原方程为-$\frac{3}{4}$x²+1=0，
解得：x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，x₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴当k=-$\frac{1}{2}$时，方程有两个互为相反数的实数根，此时方程的根为x=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根的判别式以及根与系数的关系得出方程及不等式是解题的关键．