Question

6．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC=∠OFC．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，∠OCB=∠F，根据垂径定理得到OF⊥BC，根据余角的性质得到∠OCF=90°，于是得到结论；
（2）过D作DH⊥AB于H，根据三角形的中位线的想知道的OD=$\frac{1}{2}$AC，根据平行四边形的性质得到DF=AC，设OD=x，得到AC=DF=2x，根据射影定理得到CD=$\sqrt{2}$x，求得BD=$\sqrt{2}$x，根据勾股定理得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$x，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠OCB=∠F，
∵D为BC的中点，
∴OF⊥BC，
∴∠F+∠FCD=90°，
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∴∠OCF=90°，
∴CF为⊙O的切线；

（2）过D作DH⊥AB于H，
∵AO=OB，CD=DB，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC，
∵四边形ACFD是平行四边形，
∴DF=AC，
设OD=x，
∴AC=DF=2x，
∵∠OCF=90°，CD⊥OF，
∴CD²=OD•DF=2x²，
∴CD=$\sqrt{2}$x，
∴BD=$\sqrt{2}$x，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$x，
∵OD=x，BD=$\sqrt{2}$x，
∴OB=$\sqrt{3}$x，
∴DH=$\frac{OD•BD}{OB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$x，
∴sin∠BAD=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，射影定理，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．