Question

16．如图，AB是⊙O的弦，过B作BC⊥AB交⊙O于C，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，E为AD的中点，过E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长BC的延长线于点G
（1）求证：FC=FG；
（2）若BC=4，CG=6，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）求出EF⊥AB，根据线段垂直平分线性质得出AF=DF，求出∠A=∠D，根据三角形内角和定理求出∠G=∠FCG，即可得出答案；
（2）连接AC，求出∠G=∠CAD，根据相似三角形的判定得出△ABC∽△GBA，得出比例式，打扰求出即可．

解答 （1）证明：∵EF∥BC，BC⊥AB，
∴EF⊥AB，
∵E为AD中点，
∴AF=DF，
∴∠A=∠D，
∵BC⊥AD，
∴∠ABC=∠CBD=90°，
∴∠A+∠G=∠D+∠DCB=90°，
∵∠FCG=∠BCD，
∴∠G=∠FCG，
∴FC=FG；

（2）解：连接AC，

∵∠ABC=90°，
∴∠ACB+∠CAB=90°，
∵DF为切线，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCB=90°，
∴∠CAB=∠BCD，
∵∠G=∠FCG=∠BCD，
∴∠CAB=∠G，
∵∠ABC=∠ABG，
∴△ABC∽△GBA，
∴$\frac{AB}{GB}$=$\frac{CB}{AB}$，
∴AB²=BC•GB=4×（4+6）=40，
∴AB=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．