Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O分别交AC、BC于D、E，延长AC至F，连结BF，若∠CAB=2∠FBC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）连BD、AE交于H．若AB=10，tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，求BH．

Answer 1

分析 （1）连接AE，由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，等量代换得到∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF=90°，于是得到结论；
（2）由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=∠ADB=90°由（1）得∠EAB=∠CBF，于是得到tanEBH=tan∠EAB=tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵AB=AC，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∵∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CAB，
∴∠EAB=∠CBF，
∴∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；

（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°．
∵∠BHE=∠AHD，
∴∠DAH=∠EBH，
∵AB=AC，
∴∠DAH=∠EAB，
由（1）得∠EAB=∠CBF，
∴tan∠EBH=tan∠EAB=tan∠CBF=$\frac{1}{2}$，
∵AB=10，
由勾股定理得BE=2$\sqrt{5}$，
在Rt△BEH中，由勾股定理得BH=5．

点评 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．