Question

11．已知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、B的坐标，并求出该二次函数的解析式．
（2）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程求出两个根，然后写出A、B的坐标，再将点A、B代入抛物线求出a、b，即可得解；
（2）根据抛物线解析式求出点C的坐标以及对称轴，根据轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为所求的点P，然后求解即可；
（3）表示出BQ，然后求出△ABC和△QBD相似，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出△BDQ的面积，然后根据S_△CDQ=S_△BCO-S_△BDQ列式整理，再根据二次函数的最值问题求解．

解答 解：（1）因式分解得，（x+2）（x-6）=0，
所以，x+2=0，x-6=0，
解得x₁=-2，x₂=6，
所以A（-2，0），B（6，0），
将点A、B的坐标代入得，$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+6=0}\\{36a+6b+6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以，二次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6；

（2）令x=0，则y=6，
所以，点C（0，6），
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴对称轴为直线x=2，
由轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为所求的点P，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
所以，直线BC的解析式为y=-x+6，
x=2时，y=-2+6=4，
所以，存在点P（2，4），使△APC的周长最小；

（3）∵点Q（m，0）是线段OB上一个动点，B（6，0），
∴BQ=6-m，
∵A（-2，0），（6，0），C（0，6），
∴AB=6-（-2）=8，OC=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×8×6=24，
∵QD∥AC，
∴△ABC∽△QBD，
∴$\frac{{S}_{△QBD}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{6-m}{8}$）²，
∴S_△QBD=$\frac{（6-m）^{2}}{64}$×24=$\frac{3}{8}$（6-m）²，
∴S_△CDQ=S_△BCO-S_△BDQ-S_△COQ，
=$\frac{1}{2}$×6×6-$\frac{3}{8}$（6-m）²-3m，
=-$\frac{3}{8}$（2-m）²+6，
所以，当m=6时，△CDQ面积S最大，最大值为18．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合题但难度不大，难点在于（3）考虑利用相似三角形求解并表示出△CDQ的面积．