Question

19．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，过点E作EF⊥EC交边AB于点F，交CB的延长线于点G，且EF=EC．
（1）求证：CD=AE；
（2）若DE=6，矩形ABCD的周长为48，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠A=∠D=90°，再根据角的互余关系证出∠AFE=∠DEC，根据AAS证明△AEF≌△DCE，得出对应边相等即可；
（2）设CD=AE=x，则AD=x+6，根据矩形的周长列出方程，解方程求出AE、CD，得出BF、BC，再证明△AEF∽△BGF，得出比例式求出BG，即可得出CG．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
在△AEF和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}&{\;}\\{∠AFE=∠DEC}&{\;}\\{EF=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴CD=AE，DE=AF；
（2）解：设CD=AE=x，则AD=x+6，
∵矩形ABCD的周长为48，
∴2（x+6+x）=48，
解得：x=9，
∴AE=CD=9，AB=CD=9，AD=BC=15，
∴BF=AB-AF=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△BGF，
∴$\frac{AE}{BG}=\frac{AF}{BF}$，
即$\frac{9}{BG}=\frac{6}{3}$，
∴BG=4.5，
∴CG=BC+BG=15+4.5=19.5．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．