Question

19．如图，矩形ABCD的边长是常量，点E在AD上以每秒3个单位的速度从D运动到A，当运动时间为1秒时，△ABE的面积为10；当运动时间为2秒时，△ABE的面积为4．
（1）设AD=a，AB=b，点E的运动时间为t秒，△ABE的面积为S，用含a，b，t的式子表示S；
（2）求a和b的值；
（3）求运动时间为0.5秒时，△ABE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据路程=速度×时间得出DE=3t，则AE=AD-DE=a-3t，再根据S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•AB，代入数据即可求出S=$\frac{1}{2}$ab-$\frac{3}{2}$bt；
（2）将t=1，S=10；t=2，S=4分别代入（1）中所求解析式，得出关于a、b的方程组，求解即可求出a和b的值；
（3）由（2）可得S=16-6t，将t=0.5代入计算即可求解．

解答 解：（1）∵点E在AD上以每秒3个单位的速度从D运动到A，AD=a，
∴DE=3t，AE=AD-DE=a-3t，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•AB=$\frac{1}{2}$（a-3t）•b=$\frac{1}{2}$ab-$\frac{3}{2}$bt，
即S=$\frac{1}{2}$ab-$\frac{3}{2}$bt；

（2）∵当运动时间为1秒时，△ABE的面积为10，
∴$\frac{1}{2}$ab-$\frac{3}{2}$b=10，
∵当运动时间为2秒时，△ABE的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$ab-3b=4．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ab-\frac{3}{2}b=10}\\{\frac{1}{2}ab-3b=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=4}\end{array}\right.$，
即a的值为8，b的值为4；

（3）∵a=8，b=4，
∴S=$\frac{1}{2}$×8×4-$\frac{3}{2}$×4t，即S=16-6t，
运动时间为0.5秒时，将t=0.5代入S=16-6t，
得S=16-6×0.5=13．
即△ABE的面积为13．

点评 本题是四边形综合题，其中涉及到路程、速度与时间关系的应用，三角形的面积，求函数解析式以及代数式求值．用含a，b，t的式子正确表示出S是解题的关键．