Question

如图所示，点B、E、F、C在同一条直线上，有AE⊥BC．DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且AC=DB，BE=CF，求证：
（1）AC∥BD；
（2）AB∥CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线的判定

专题：证明题

分析：（1）首先利用BE=CF，得出BF=CE，再由AE⊥BC，DF⊥BC，AC=DB，证得Rt△AEC≌Rt△DFB，得出∠ACE=∠DBF，证得结论；
（2）由Rt△AEC≌Rt△DFB，得出AE=DF，再由BE=CF，证得Rt△AEB≌Rt△DFC，得出∠ABE=∠DCF，证得结论．

解答：证明：（1）∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF
即BF=CE，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEC=∠DFB=90°，
在Rt△AEC和Rt△DFB中，

BF=CE AC=BD

∴Rt△AEC≌Rt△DFB（HL）
∴∠ACE=∠DBF，
∴AC∥BD；
（2）∵Rt△AEC≌Rt△DFB
∴AE=DF，
Rt△AEB≌Rt△DFC中

AE=DF ∠AEB=DFC BE=DF

∴Rt△AEB≌Rt△DFC（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
∴AB∥CD．

点评：此题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定，注意充分利用已知条件，找到问题的突破口．