Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=

3

4

x-

3

2

交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的抛物线y=

3

4

x²+bx+c交直线AB另一点D，且点D到y轴的距离为8．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是直线AD上方的抛物线上一动点，（不与点A、D重合），过点P作PE⊥AD于E，过点P作PF∥y轴交AD于F，设△PEF的周长为L，点P的坐标为m，求L与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
（3）在图（2）的条件下，当L最大时，连接PD．将△PED沿射线PE方向平移，点P、E、F的对应点分别为Q、M、N，当△QMN的顶点M在抛物线上时，求M点的横坐标，并判断此时点N是否在直线PF上．
（参考公式：二次函数y=ax²+bx+c（c≠0）．当x=-

b

2a

时，y_{最大（小）值}=

4ac-b2

4a

）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意得出D点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用B（0，-

3

2

），D（-8，-

15

2

），则OB=

3

2

，OC=

15

2

，得出BC=6，设点P与F的横坐标为m，∠PFE=∠DBC，则P（m，

1

4

m²-

3

4

m+

5

2

），F（m，

3

4

m-

3

2

），由

L

△BCD的周长

=

PF

BD

，求出即可；
（3）利用配方法得出P（-3，

5

2

），PK=

5

2

，PF=

25

4

，则KF=

15

4

，利用△OAB∽△KAF，以及△PEF∽△BCD，进而得出点B，E重合，即可得出M点横坐标进而得出答案．

解答：解：（1）由题意知：A（2，0），B（0，-

3

2

），
过D作DC⊥y轴于C，则DC=8，
∴点D在y=

3

4

x-

3

2

上，
∴y=

3

4

×（-8）-

3

2

=-

15

2

，
∴D（-8，-

15

2

），
∵点A（2，0），D（-8，-

15

2

）在抛物线上，
∴

0=- 1 4 ×22+2b+c - 15 2 =- 1 4 ×(-8)2-8b+c

，
解得：

b=- 3 4 c= 5 2

，
∴抛物线解析式为：y=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

；

（2）∵B（0，-

3

2

），D（-8，-

15

2

），
∴OB=

3

2

，OC=

15

2

，
∴BC=6，在Rt△BCD中，BD=10，△BCD的周长为24，
∵PF∥y轴，
∴点P与F的横坐标为m，∠PFE=∠DBC，
∴P（m，

1

4

m²-

3

4

m+

5

2

），F（m，

3

4

m-

3

2

），
∴PF=-

1

4

m²-

3

2

m+4，
∵PE⊥AD，DC⊥y轴，
∴

L

△BCD的周长

=

PF

BD

，
L=-

3

5

m²-

18

5

m+

48

5

（-8＜m＜2）；

（3）L=-

3

5

m²-

18

5

m+

48

5

=-

3

5

（m+3）²+15，
∵-

3

5

＜0，
∴当m=-3，L最大，
∴P（-3，

5

2

），PK=

5

2

，PF=

25

4

，
∴KF=

15

4

，
∵A（2，0），B（0，-

3

2

），
∴OA=2，OB=

3

2

，
在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=

5

2

，
∵OB∥FK，
∴△OAB∽△KAF，
∴

AB

AF

=

OB

KF

，
∴AF=

25

4

，∴BP=

15

4

，
∵△PEF∽△BCD，
∴

EF

BC

=

PF

BD

，
∴EF=

15

4

，
∴点B，E重合，
∵P（-3，

5

2

），B（0，-

3

2

），
∴直线PB的解析式为：y=-

4

3

x-

3

2

，
则令M点坐标为：（n，-

4

3

n-

3

2

），
点M在抛物线y=-

1

4

x²-

3

4

x+

5

2

上，
∴-

4

3

n-

3

2

=-

1

4

n²-

3

4

n+

5

2

，
整理得：（n+3）（3n-16）=0，
解得；n₁=-3（舍去），n₂=

16

3

，
∴M点横坐标为：

16

3

，
∵点E的横坐标为0，M点横坐标为：

16

3

，
∴△PED向右平移了

16

3

个单位长度，
∴点D也向右平移了

16

3

个单位长度，
∴点N的横坐标为：-8+

16

3

≠-3，
又∵直线PF上点的横坐标为：-3，
∴点N不在直线PF上．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质以及图形的平移等知识，得出M点横坐标是解题关键．