Question

如图，已知直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

(k＞0)交于A、B两点，A点横坐标为4．
（1）求k值；
（2）直接写出关于x的不等式

1

2

x-

k

x

≥0的解集；
（3）若双曲线y=

k

x

(k＞0)上有一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（4）若在x轴上有点M，y轴上有点N，且点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，直接写出点M、N的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

(k＞0)交于A、B两点，A点横坐标为4，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值；
（2）首先根据对称性，可求得点B的坐标，结合图象，即可求得关于x的不等式

1

2

x-

k

x

≥0的解集；
（3）首先过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S_△AOC=S_△OCD+S_梯形AEDC-S_△AOE=S_梯形AEDC，又由双曲线y=

k

x

(k＞0)上有一点C的纵坐标为8，可求得点C的坐标，继而求得答案；
（4）由当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，根据平移的性质，即可求得答案．

解答：解：（1）∵直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

(k＞0)交于A、B两点，A点横坐标为4，
∴点A的纵坐标为：y=

1

2

×4=2，
∴点A（4，2），
∴2=

k

4

，
∴k=8；

（2）∵直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

(k＞0)交于A、B两点，
∴B（-4，-2），
∴关于x的不等式

1

2

x-

k

x

≥0的解集为：-4≤x＜0或x≥4；

（3）过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，
∵双曲线y=

k

x

(k＞0)上有一点C的纵坐标为8，
∴把y=8代入y=

8

x

得：x=1，
∴点C（1，8），
∴S_△AOC=S_△OCD+S_梯形AEDC-S_△AOE=S_梯形AEDC=

1

2

×（2+8）×（4-1）=15；

（4）如图，当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，
∵点A（4，2），点C（1，8），
∴根据平移的性质可得：M（3，0），N（0，6）或M′（-3，0），N′（0，-6）．

点评：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及一次函数的性质等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．